1. Egy matematika órán a tanár felírt egy pozitív számot a táblára. Az egyik diák így szólt: a szám osztható 31-gyel. A második diák azt mondta, hogy a szám osztható 30-cal, a harmadik azt, hogy osztható 29-cel. Ezt a felsorolást addig folytatták, amíg a harmincadik is megszólalt: a szám osztható 2-vel. A tanár ezek után közölte, hogy a fenti harminc állítás közül csak kettő hamis, és a két hamis állítás közvetlenül egymás mellett hangzott el. Melyik volt a két hamis állítás?

    2. Arany Dániel, 2008, Kezdők II kat. (döntő)

    megoldás

  2. Néhány egész szám összege 0. Bizonyítsa be, hogy a számok ötötdik hatványainak összege osztható 15-tel!

    3. Arany Dániel, 2008, Kezdők II kat. (döntő)

    megoldás

     

  3. Egy sorozat első tagja 1, és minden további tagot úgy képezünk, hogy az őt megelőző tag tízszereséhez 1-et adunk. A sorozat első 2008 tagja között hány olyan van, amely nem osztható sem 11-gyel, sem 37-tel?

    4.  

    Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, III. forduló

    megoldás

  4. A valós számok halmazán értelmezett f valós értékű függvényre igaz, hogy bármely x valós számra:

    5.  

    4f(x)-5f(3-x)=3x-2.

    Adjuk meg az összes ilyen tulajdonságú valós függvényt!

    Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, III. forduló

    megoldás

     

  5. Melyek azok az n egész számok, amelyekre 
    	\frac{n}{20-n}
    egy egész szám négyzete?

    6. Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, döntő

    megoldás

     

  6. Határozzuk meg azt a legnagyobb pozotív egész számot, amellyel az 
    	n^7-n^3
    minden n egész szám esetén osztható.

    7. Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, döntő

    megoldás

     

  7. Melyek azok a legalább kétjegyű pozitív egész számok, amelyek számjegyeinek összege megegyezik a legnagyobb helyi értéken álló számjegyük elhagyásával kapható pozitív egész számmal?

    8. Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, döntő

    megoldás

     

  8. Adott a síkban n darab (n legalább 5) úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen. Aladár és Barnabás a következő játékot játsszák: Felváltva rajzolnak be egy-egy szakaszt két még nem összekötött pont közé. A játékot az nyeri, akinek a lépése után nem marad olyan pont, amelyikből nem indul ki szakasz. A játékot Aladár kezdi. mely n értékek esetén biztos, hogy Barnabás lépéseitől függetlenül ő nyer, ha ügyesen játszik , azaz mely n értékre van kezdőként nyerő stratégiája?

    9. Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, döntő

    megoldás