Feladatok

Néhány geometria feladatot mutatunk meg. A rajzok sokban segítenek, ezért a megoldásokat nem adjuk meg.

(mindegyik rajz dinamikus)

  1. Mi a mértani helye az ABC háromszög magasságpontjának, ha az A pont az ABC háromszög köré írt körön mozog?

    Ha egérrel megfogod az A pontot és nyomva tartva mozgatod a körön, akkor a H magasság pont nyomvonala megmutatja a mértani helyet.

    Segédszerkesztésnek javaslom a magasságpont szimmetrikusát a BC egyenesre nézve. Ez legyen E. Először mutassuk ki, hogy az E pont rajta van az ABC háromszög köré írt körön. Majd, ha beláttuk, hogy a nyomvonal egy kört ír le (kivéve a B és C pontok szimmetrikusait), akkor már csak azt kell megállapítani, hogy mekkora ez a kör? Hol lesz a középpontja?


  2.  

     

  3. Szerkesszük meg egy szögtartomány belső pontján átmenő köröket, melyek érintik a szög szárait!
  4.  

    A lejátszásra kattintva végig nézheted a szerkesztés menetét.

     

     

  5. Adott egy egységnyi oldalú négyzet. Határozzuk meg a négyzet síkjában levő azon körök középpontjainak mértani helyét, amelyeknek a négyzet mind a négy oldalával két közös pontja van.
    OKTV. 2007-2008, II. kat.
  6. Az M pontot egérrel végig forgatva a körön, megmutatja a mértani helyet (ez még nem bizonyítás).

     

  7. Egy téglalap átlóira a téglalap köré írt kör egy tetszőleges pontjából merőlegeseket állítunk. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjainak távolsága független a körön levő pont helyzetétől.
    Szőkefalvi-Nagy Gyula, 12. évfolyam, I. forduló
  8.  

  9. Egy derékszögű háromszög átfogója egy pontjának merőleges vetületeit összekötő szakasz mikor lesz a legrövidebb?

     

    A rajzon az EF szakasz hossza mikor lesz minimális? A D (kék) pont mozgatható.

     

     

  10. Mutassuk ki, hogy egy derékszögű háromszögben az ábrán látható módon beírt körök sugarainak összege megegyezik az átfogóra húzott magasság hosszával.
  11.  

     

    A megoldást itt megnézheted.

     

  12. Az ABC háromszögben AB=AC. Legyen a B pontnak az AC oldalra vett merőleges vetülete T! Mekkorák a háromszög szögei, ha AC-2.CT=BC?
  13. Arany Dániel, 2008, Kezdők II kat. (döntő)

    megoldás

     

     

  14. Legyen az ABCD konvex négyszög DC oldalának felezopontja E, míg az AB oldal felezőpontja F. Az AE és FD szakaszok a G pontban, míg a CF és BE szakaszok a H pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy az AGD háromszög és a CBH háromszög területének összege egyenlő az FHEG négyszög területével! (A barna területek összege megegyezik a kék területtel).

    Megoldás

  15. Az AB szakasz felezopontja O. AZ OB szakasz felezomerolegese az A-n átmeno, O középpontú kört E-ben metszi. A kör E-bel érintoje az AB egyenest C-ben metszi. Adjuk meg az OC:BC arányt!
  16. Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, III. forduló

    Megoldás

     

  17. Az ABD és BCE háromszögek azonos körüljárási irányú, szabályos háromszögek. A CD szakasz felezőpontja G, az AE szakasz felezőpontja pedig F. Milyen háromszög a BGF háromszög?
  18. Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, III. forduló

    Megoldás

  19. Az ABC háromszög belső szögeinek nagysága a szokásos jelölésnek megfelelően α, β, γ. Tudjuk, hogy α : β : γ = 1 : 2 : 4. Bizonyítsuk be, hogy
  20. 	\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac {1}{BC}
    

    Szőkefalvi-Nagy Gyula, 12. évfolyam, I. forduló

    Megoldás

  21. Az ABC háromszögben AC=2AB. Az AB és AC oldalon vegyük fel az M, illetve N pontokat úgy, hogy
    	\frac{AB}{2}=AM=CN=\frac{AC}{4}
    
    összefüggés teljesüljön. Jelölje P az MN és Q a BC szakaszok felezőpontját, AD pedig a BAC szög szögfelezőjét, ahol D illeszkedik a BC-re.
    Igazoljuk, hogy PQ : AD = 3 : 8.
  22. Arany Dániel, 2. forduló, haladó II.

    Megoldás

  23. Az ABC egyenlőszárú háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög tompaszög. A C pontban a BC oldalra állított merőleges az AB oldalt a D pontban metszi. Igazoljuk, hogy:
    	2\cdot DC^2=BD^2-AD\cdot DB
    
  24. Szőkefalvi-Nagy GYula, 9. évf. döntő

    Megoldás