-
Mi a mértani helye az ABC háromszög magasságpontjának, ha az A pont az ABC háromszög köré írt körön mozog?
Ha egérrel megfogod az A pontot és nyomva tartva mozgatod a körön, akkor a H magasság pont nyomvonala megmutatja a mértani helyet.
Segédszerkesztésnek javaslom a magasságpont szimmetrikusát a BC egyenesre nézve. Ez legyen E. Először mutassuk ki, hogy az E pont rajta van az ABC háromszög köré írt körön. Majd, ha beláttuk, hogy a nyomvonal egy kört ír le (kivéve a B és C pontok szimmetrikusait), akkor már csak azt kell megállapítani, hogy mekkora ez a kör? Hol lesz a középpontja?
- Szerkesszük meg egy szögtartomány belső pontján átmenő köröket, melyek érintik a szög szárait!
A lejátszásra kattintva végig nézheted a szerkesztés menetét.
-
Adott egy egységnyi oldalú négyzet. Határozzuk meg a négyzet síkjában levő azon körök középpontjainak mértani helyét, amelyeknek a négyzet mind a négy oldalával két közös pontja van.
OKTV. 2007-2008, II. kat.
Az M pontot egérrel végig forgatva a körön, megmutatja a mértani helyet (ez még nem bizonyítás).
- Egy téglalap átlóira a téglalap köré írt kör egy tetszőleges pontjából merőlegeseket állítunk. Bizonyítsuk be, hogy a merőlegesek talppontjainak távolsága független a körön levő pont helyzetétől.
Szőkefalvi-Nagy Gyula, 12. évfolyam, I. forduló
- Egy derékszögű háromszög átfogója egy pontjának merőleges vetületeit összekötő szakasz mikor lesz a legrövidebb?
A rajzon az EF szakasz hossza mikor lesz minimális? A D (kék) pont mozgatható.
- Mutassuk ki, hogy egy derékszögű háromszögben az ábrán látható módon beírt körök sugarainak összege megegyezik az átfogóra húzott magasság hosszával.
A megoldást itt megnézheted.
- Az ABC háromszögben AB=AC. Legyen a B pontnak az AC oldalra vett merőleges vetülete T! Mekkorák a háromszög szögei, ha AC-2.CT=BC?
Arany Dániel, 2008, Kezdők II kat. (döntő)
megoldás
- Legyen az ABCD konvex négyszög DC oldalának felezopontja E, míg az AB oldal felezőpontja F. Az AE és FD szakaszok a G pontban, míg a CF és BE szakaszok a H pontban metszik egymást. Igazoljuk, hogy az AGD háromszög és a CBH háromszög területének összege egyenlő az FHEG négyszög területével! (A barna területek összege megegyezik a kék területtel).
Megoldás
- Az AB szakasz felezopontja O. AZ OB szakasz felezomerolegese az A-n átmeno, O középpontú kört E-ben metszi. A kör E-bel érintoje az AB egyenest C-ben metszi. Adjuk meg az OC:BC arányt!
Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, III. forduló
Megoldás
- Az ABD és BCE háromszögek azonos körüljárási irányú, szabályos háromszögek. A CD szakasz felezőpontja G, az AE szakasz felezőpontja pedig F. Milyen háromszög a BGF háromszög?
Szőkefalvi-Nagy Gyula, 9. évfolyam, III. forduló
Megoldás
- Az ABC háromszög belső szögeinek nagysága a szokásos jelölésnek megfelelően α, β, γ. Tudjuk, hogy α : β : γ = 1 : 2 : 4. Bizonyítsuk be, hogy
\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac {1}{BC}
Szőkefalvi-Nagy Gyula, 12. évfolyam, I. forduló
Megoldás
- Az ABC háromszögben AC=2AB. Az AB és AC oldalon vegyük fel az M, illetve N pontokat úgy, hogy
\frac{AB}{2}=AM=CN=\frac{AC}{4}
összefüggés teljesüljön. Jelölje P az MN és Q a BC szakaszok felezőpontját, AD pedig a BAC szög szögfelezőjét, ahol D illeszkedik a BC-re.
Igazoljuk, hogy PQ : AD = 3 : 8.
Arany Dániel, 2. forduló, haladó II.
Megoldás
- Az ABC egyenlőszárú háromszögben a C csúcsnál lévő belső szög tompaszög. A C pontban a BC oldalra állított merőleges az AB oldalt a D pontban metszi. Igazoljuk, hogy:
2\cdot DC^2=BD^2-AD\cdot DB
Szőkefalvi-Nagy GYula, 9. évf. döntő
Megoldás