$n^7-n^3=n^3(n^4-1)=n^3(n-1)(n+1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)n^2(n^2+1)$

Mivel az első három tényező három egymást követő szám, a szorzat 3-nak többszöröse.

Két esetet különböztetünk meg: $n$ páros vagy páratlan.

Ha $n$ páros, akkor az $n^2$ 4 többszöröse, tehát $n^3$ 8 többszöröse, tehát a szorzat 8 többszöröse.

Ha $n$ páratlan, akkor $(n-1)$ és $(n+1)$ és $(n^2+1)$ tényezők párosak, tehát a szorzat biztosan osztható 8-cal. (16-tal is osztható, mert két egymást követő páros szám közül az egyik biztos, hogy 4-nek is többszöröse)

A szorzat 5-nek is többszöröse, mert $n$ lehet $5k$, lehet $5k\pm 1$, lehet $5k\pm 2$.

Mindegyik esetben valamelyik tényező 5-nek többszöröse lesz: $(n\pm 1)$ az $5k\pm 1$ esetben, $n^2+1$ az $5k\pm 2$ esetben lesz 5-nek többszöröse.

Tehát a szorzat 3-nak, 8-nak és 5-nek mindig többszöröse, tehát mindig osztható 120-szal.